Fungsi Kuadrat Dalam Ilmu Matematika | Pengertian Fungsi Kuadrat dan Contoh Soal..!!
Pengertian Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat banyak digunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang berhubungan dengan perubahan variabel yang nilanya naik turun dengan pola simetris. Pada contoh di atas gerakan bola naik mencapai titik puncak dan turun sampai tanah. Waktu yang diperlukan bola untuk naik sampai puncak akan sama dengan waktu bola untuk turun dari puncak ke tanah.
Hubungan antara variabel bebas dan variabel terikat dapat dinyatakan dalam fungsi. Fungsi kuadrat dalam bentuk umum adalah :
Y = ax2 + bx + c
Gambar fungsi kuadrat adalah parabola dengan ciri-ciri sebagai berikut :
Mempunyai sebuah sumbu simetri, sehingga gambarnya selalu semetris terhadap sumbu tersebut
Mempunyai sebuah titik balik berjenis maksimum atau minimum
Fungsi kuadrat dalam variabel x mempunyai bentuk baku yaitu y = f(x) = ax 2 + bx + c , dengan a, b dan c bilangan real dan a ≠ 0. grafik fungsi kuadrat tersebut berbentukparabola. Berikut beberapa contoh fungsi kuadrat.
f(x) = x2 – 6 + 8 dengan nilai a = 1, b = -6 dan c = 8
f(x) = -2x2 + 3x + 5 dengan nilai a = -2, b = 3 dan c = 5
f(x) = x2 – 9x dengan nilai a = 1, b = -9 dan c = 0
f(x) = 2x2 + 1 dengan nilai a = 2, b = 0 dan c = 1
Maka dapat digambarkan kedalam grafik fungsi kuadrat f(x) = ax 2 + bx + c , dengan f(x) = 0.
a. Titik potong dengan sumbu x
- Jika D >0 maka grafiknya
a > 0 a < 0
Gambar 1. titik Potong dengan sumbu X a> 0
Gambar 2. titik Potong dengan sumbu X a< 0
- Jika D = 0 maka grafiknya
a > 0 a < 0
Gambar 1. titik Potong dengan sumbu X a> 0
Gambar 2. titik Potong dengan sumbu X a< 0
- Jika D < 0 maka grafiknya
a > 0 a < 0
Gambar 1. titik Potong dengan sumbu X a> 0
Gambar 2. titik Potong dengan sumbu X a< 0
Maka dapat digambarkan kedalam grafik fungsi kuadrat f(x) = ax 2 + bx + c , dengan nilai x = 0,sehingga y = f(0) = a(0) 2 + b(0) + c . Y adalah titik (0,c)
b. titik potong dengan sumbu y
- Jika c > 0 dan D > 0 maka grafik memotong sumbu y positif
a > 0 a < 0
Gambar 1. titik Potong dengan sumbu X a> 0
Gambar 2. titik Potong dengan sumbu X a< 0
- Jika c < 0 dan D > 0 maka grafik memotong sumbu y positif
a > 0 a < 0
Gambar 1. titik Potong dengan sumbu X a> 0
Gambar 2. titik Potong dengan sumbu X a< 0
- Jika c = 0, D > 0 maka grafik melalui titik asal (0,0)
a > 0 a < 0
Gambar 1. titik Potong dengan sumbu X a> 0
Gambar 2. titik Potong dengan sumbu X a< 0
Soal Fungsi Kuadrat :
1. EBTANAS 1990
Koordinat titik balik grafik fungsi dengan rumus f(x) = 3 – 2x – x2 adalah
(A) (-2, 3) (D) (1, -4)
(B) (-1, 4) (E) (1, 4)
(C) (-1, 6)
2. EBTANAS 1991
Persamaan sumbu simetri dari y = 8 – 2x – x2 adalah
(A) x = 4 (D) x = – 1
(B) x = 2 (E) x = – 2
(C) x = 1
3. EBTANAS 1992
Grafik fungsi kuadrat y = ax2 – 5x – 3 memotong sumbu x. Jika salah satu titik potongnya ( – ½ , 0), maka nilai a sama dengan
(A) – 32 (D) 11
(B) – 2 (E) 22
(C) 2
4. EBTANAS 1995
Koordinat titik balik dari grafik fungsi kuadrat y = (x – 1) (x – 3) adalah
(A) (2, -1) (D) (-2, 1)
(B) (-1, -3) (E) (1, 3)
(C) (-2, -1)
5. EBTANAS 1995
Grafik fungsi di bawah ini adalah
(A) y = – 2×2 + 4x + 1
(B) y = 2×2 – 4x + 5
(C) y = -2×2 – 4x + 1
(D) y = -2×2 + 4x – 5
(E) y = -2×2 – 4x – 5
6. EBTANAS 1996
Grafik suatu fungsi kuadrat memotong sumbu x di titik A(-1, 0), (4, 0) dan memotong sumbu y di titik C(0, 8). Persamaan grafik fungsi tersebut adalah
(A) y = -2×2 + 10x + 8
(B) y = -2×2 – 6x + 8
(C) y = -2×2 – 10x + 8
(D) y = -2×2 + 6x + 8
(E) y = -2×2 + 4x + 8
7. EBTANAS 1997
Grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik (1, -4) dan melalui titik (2, -3) mempunyai persamaan
(A) y = 2×2 – 2x – 7
(B) y = x2 – 2x – 3
(C) y = 2×2 – x – 5
(D) y = x2 – 2x + 3
(E) y = x2 – 2x – 4
8. EBTANAS 1998
R}.Î 4, x £ x £Diketahui fungsi kuadrat f(x) = -2×2 + 8x + 3 dengan daerah asal { x| – 1
Daerah hasil fungsi adalah
R}Î 11, y £ y £(A) {y | -7
R}Î 3, y £ y £(B) {y | -7
R}Î 19, y £ y £(C) {y | -7
R}Î 11, y £ y £(D) {y | 3
R}Î 19, y £ y £(E) {y | 3
9. EBTANAS 1999
Akar-akar persamaan x2 + (a + 2)x + (a + 3) = 0 adalah p dan q. Nilai minimum p2 + q2 – pq dicapai untuk a sama dengan
(A) – 1 (D) 1
(B) – 1/2 (E) 5
(C) 1/2
10. EBTANAS 2000
Ordinat titik balik minimum grafik fungsi kuadrat y = x2 – 4x + (p – 3) adalah 6. Nilai p =
(A) 4 (D) 13
(B) 5 (E) 15
(C) 10
11. UJIAN NASIONAL 2002
Suatu fungsi kuadrat f(x) mempunyai maksimum 5 untuk x = 2, sedang f(4) = 3. Fungsi tersebut adalah
(A) f(x) = – ½x2 + 2x + 3
(B) f(x) = – ½x2 – 2x + 3
(C) f(x) = – ½x2 – 2x – 3
(D) f(x) = – 2×2 + 2x + 3
(E) f(x) = 2×2 + 8x – 3
12. UJIAN NASIONAL 2006
Perhatikan gambar berikut ini, grafik fungsi tersebut adalah
(A) y = 2 – 2x + ½x2
(B) y = 2 + 2x – ½x2
(C) y = 2 – 2x – ½x2
(D) y = – ½x2 + 2x – 2
(e) y = – ½x2 – 2x – 2
13. UJIAN NASIONAL 2005
Fungsi kuadrat yang mempunayi nilai minimum 2 untuk x = – 1 dan grafiknya melalui titik (1, 4), akan memotong sumbu y di titik
(A) (0, 3½) (D) (0, 2)
(B) (0, 3) (E) (0, 1½)
(C) (0, 2½)
14. Jika parabola f(x) = – x2 + bx + 5 puncaknya memiliki absis 4, maka ordinatnya adalah
(A) 3 (D) 9
(B) 5 (E) 11
(C) 7
15. Jika fungsi f(x) = px2 – (p + 1)x – 6 mencapai nilai tertinggi untuk x = – 1, nilai p adalah
(A) – 3 (D)
(B) – 1 (E) 1
(C) -
1 adalah£ x £16. Nilai range fungsi f(x) = 3 – 4x – x2, untuk – 3
7£ y £ 7 (D) 2 £ y £(A) – 2
7£ y £ 7 (E) 3 £ y £(B) – 3
7£ y £(C) – 4
17. Fungsi y = x2 – 3ax + 5a + 1 memiliki nilai ekstrim 2, maka nilai a dalah
(A) 2 (D) 2/9
(B) 2 dan 2/3 (E) 3
(C) 2 dan 2/9
18. Fungsi f(x) = 12m – (m – 1)x – x2 mencapai nilai maksimum untuk x = – 2, maka titik balik maksimum fungsi itu adalah
(A) (-2, 64) (D) (-2, 4)
(B) (-2, 48) (E) (-2, 2)
(C) (-2, 16)
19. Jika nilai minimum fungsi kuadrat
f(x) = -2×2 – (a + 1)x + 2a adalah 8, maka a =
(A) 3 (D) 3 dan – 21
(B) – 3 (E) 3 dan 21
(C) – 21
20. Fungsi f(x) = – x2 + (m – 2)x – (m + 2) mempunyai nilai maksimum 4.
Untuk m > 0, maka nilai m2 – 8 =
(A) – 8 (D) 64
(B) – 6 (E) 92
(C) 60
bil. Bulat. Jika f(2) = 4 dan f(4) = 6, maka nilai p dan q berturut-turut adalahÎ (px + q) dengan p dan q ®21. Diketahui f : x
(A) 1 dan 2 (D) 3 dan – 2
(B) 2 dan 1 (E) – 2 dan 1
(C) – 2 dan 3
22. Jika fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c mem-punyai titik puncak (2, 1) dan melalui titik (-1, 10) maka nilai a + b + c sama dengan
(A) 5 (D) – 1
(B) 3 (E) – 4
(C) 2
23. Jika fungsi kuadrat f(x) = 2ax2 – 4x + 3a mencapai nilai maksimum 1, maka nilai dari 27a3 – 9a sama dengan
(A) – 3 (D) 6
(B) – 2 (E) 18
(C) – 1
24. Fungsi f(x) = (a – 1)x2 – ax + 3a – 4 memiliki nilai minimum yang sama dengan nilai x-nya, maka nilai minimum itu adalah
(A) 2 (D) – 1
(B) 1 (E) – 2
(C) 0
25. Fungsi kuadrat y = 3ax2 – 6x + 1 selalu terletak di atas sumbu x untuk nilai
(A) a > – 4 (D) a > 4
(B) a > – 3 (E) a > 2
(C) a > 3
26. Fungsi f(x) = kx2 + 4x – 5 akan selalu negatif, jika k negatif dan D negatif. Supaya fungsi tersebut selalu mempunyai harga negatif maka haruslah memenuhi
(A) k < 4 (D) k < -
(B) k < 0 (E) k <
(C) k < – 5
27. Grafik fungsi y = (m – 3)x2 + 2mx + (m + 2) menyinggung sumbu x di titik P dan memotong sumbu Y dititik Q(0, -4).
Panjang PQ adalah
(A) (D) 3
(B) (E) 4
(C)
28. Nilai a yang memenuhi agar persamaan f(x) = ax2 + 16x + 4a selalu memiliki nilai negatif adalah
(A) a 4
(B) a < – 4 (E) a 4
(C) a > 2
29. Grafik y = kx2 + (k – 4)x + 0,5 menyinggung sumbu x untuk nilai k sama dengan
(A) 8 dan 2 (D) 8
(B) 8 dan 3 (E) 2
(C) 8 dan 4
30. Grafik y = (1 – m)x2 n+ (2m – 2) – m adalah definit negatif, maka nilai m adalah
(A) ½ < m < Æ1 (D) m 1 (E)
(C) m > ½
31. Nilai m agar mx2 – (2m + 3)x + m + 4 > 0 adalah
(A) m
(B) m 0
(C) m <
32. Fungsi didefenisikan untuk x real, jika
(A) a < 1 (D) – 1 < a < 0
(B) a < 0 (E) a < – 1
(C) 0 < a 2
(B) 2 < a 3
(D) 1 < a < 3
(E) a 3
34. Grafik y = mx2 + m berada diatas grafik y = x untuk
(A) m < – ½
(B) m ½
(C) m > ½
(D) – ½ < m < ½
(E) 0 < m 0, b > 0, c > 0 dan b2 – 4ac > 0 berbentuk
(A) (D)
(B) (E)
(C)
37. UMPTN 1999/RAYON B
Jika fungsi kuadrat 2ax2 + 4x + 5a mempunyai nilai maksimum 3, maka 25a2 + 5a =
(A) 2 (D) 15
(B) 6 (E) 30
(C) 9
38. UMPTN 1993/RAYON A
Jika nilai a, b, c, dan d positif, maka grafik ay – bx2 – cx + d = 0 akan memiliki
(1) dua titik potong dengan sumbu x
(2) nilai maksimum
(3) nilai minimum
(4) titik singgung dengan sumbu x
39. Jika fungsi kuadrat y = ax2 + 6x + (a + 1) mempunyai sumbu simetri x = 3, maka nilai ekstrim fungsi itu adalah
(A) maks 1 (D) maks 9
(B) min 3 (E) maks 18
(D) maks 5
40. Pak Tedi medapat hadiah sebidang tanah yang terletak di samping sungai. Pak Tedi dapat memagar tanah tersebut berbentuk persegi panjang dengan panjang pagar 100 meter, dan pada sisi sungai tidak perlu dipagar. Luas maksimum tanah yang dapat dipagar adalah
(A) 250 m2 (D) 1000 m2
(B) 550 m2 (E) 1250 m2
(C) 750 m2
41. Hasil penjualan suatu jenis barang dinyatakan oleh perkalian harga barang p dengan permintaan barang x. Jika p = 70 – 2 x, maka hasil penjualan barang yang maksimum adalah
(A) 120 (D) 720
(B) 240 (E) 960
(C) 480
42. SPMB 2006/Regional II/Kode 310
Agar parabola y = ax2 + 2x dan garis y = x – a selalu berpotongan di dua titik berbeda maka
(A) a 1/2
(C) – 1/2 < a < 1/2
(D) a 1/2
(E) 1/2 < a < 1
43. SPMB 2006/Regional I/Kode III
Garis y = x + 8 memotong parabola
y = ax2 – 5x – 12 di titik P(-2, 6) dan di titik Q. Koordinat titik Q adalah
(A) (5, 13) (D) (4, 12)
(B) (3, 11) (E) (2, 10)
(C) (2, 9)
44. UM UGM/Kode 621
Parabola y = x2 + 3x dan y = x + c mempunyai penyelesaian tunggal. Nilai c dan x + y berturut-turut adalah
(A) – 1 dan – 3 (D) – 1 dan – 1
(B) – 1 dan 0 (E) 1 dan – 3
(C) 1 dan 3
45. SPMB 2005/Regional III/Kode 171
Jika garis y = 7x – 3 menyinggung parabola y = 4×2 + ax + b di titik (1, 4) dengan a dan b konstanta, maka a – b =
(A) – 2 (D) – 1
(B) 0 (E) 1
(C) 2
46. SPMB 2006/KODE 411
Garis singgung melalui titik (8, 28) dan memotong parabola y = 3×2 + x – 10 di titik A dan B. Jika A(2, 4) dan B(x, y), maka x + y =
(A) – 6 (D) – 9
(B) – 7 (E) – 10
(C) – 8
47. Parabola dengan puncak (3, -1) dan melalui titik (2, 0) akan memotong sumbu y di titik
(A) (0, 5) (D) (0, 6)
(B) (0, 7) (E) (0, 8)
(C) (0, 9)
48. UMPTN 1996/Rayon B
Fungsi kuadrat f(x) yang grafiknya di samping ini adalah f(x) =
(A) x2 – 2x – 3 (D) x2 – 3x – 4
(B) x2 + 2x – 3 (E) x2 + 2x + 3
(C) x2 – x – 4
49. UMPTN 2000/Rayon A
Fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (-1, 3) dan titik terendahnya sama dengan puncak dari grafik f(x) = x2 + 4x + 3 adalah
(A) y = 4×2 + x + 3 (D) y = x2 – 3x – 3
(B) y = 4×2 + 16x + 15 (E) y = 4×2 + 15x + 16
(C) y = x2 + 16x
